УЧИМСЯ.info

Mатематический анализ

Миклюков Владимир Михайлович
Волгоградский государственный университет
Университетский пр., 100, 400062 г. Волгоград
E-mail: geomanalysis@uchimsya.info

В.М.Миклюков. Материaлы к лекциям по математическому анализу для инженеров

Рабочая Программа по курсу "Mатематический анализ" (АCO, ИВT, ИCT) 2008-2009 гг.

К лекции 1. Множества вещественных чисел. Аксиоматика вещественных чисел, аксиома полноты, максимальный и минимальный элементы множества, точная верхняя и точная нижняя грани.

К лекциям 2-3. Предел числовой последовательности. Предел последовательности, предел суммы, разности, произведения и частного, предел монотонной последовательности, число 'e', критерий Коши.

К лекциям 4-6. Предел функции. Предел функции в точке, непрерывные функции, равномерно непрерывные функции, теорема Кантора.

К лекциям 7-9. Производная. Производная функции, дифференциал, формула Tейлора, точки экстремума.

К лекциям 10-11. Интегрирование. Начальные сведения о дифференциальных уравнениях. Неопределенный интеграл, замена переменной, интегрирование по частям, понятие об интегрировании дифференциального уравнения, задача Коши.

К лекции 12. Вычисление неопределенного интеграла. Основные приемы нахождения неопределенного интеграла.

К лекциям 13-14. Интегрирование дифференциальных уравнений. Важнейшие приемы решения дифференциальных уравнений и систем, устойчивость решения.

К лекциям 15-20. Определенный интеграл. Определенный интеграл; формула Ньютона-Лейбница; классы интегрируемых функций; приложения определенного интеграла; несобственный интеграл; интеграл, зависящий от параметра.

К лекциям 21-23. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Неравенство треугольника, предел и непрерывность функций нескольких аргументов, частные производные, дифференциал, производная по направлению, градиент, конечные разности, уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, формула Tейлора для функций нескольких переменных, глобальный и локальный экстремумы, условный экстремум, теорема о неявной функции, элементы теории поля.

К лекциям 24-27. Tеория интегрирования в . Интегрирование по области, криволинейные и поверхностные интегралы, формулы Грина, Гаусса-Остроградского и Стокса, приложения.

К лекциям 28-30. Дифференциальные уравнения в частных производных. Понятие дифференциального уравнения с частными производными и его решения, классификация линейных уравнений второго порядка, уравнение Лапласа, уравнение теплопроводности, волновое уравнение, краевые задачи, корректные и некорректные краевые задачи. Классификация линейных уравнений высшего порядка, понятие характеристической формы, системы уравнений первого порядка, обобщенные решения, почти-решения.

К лекциям 31-32, 40-42. Начальные сведения о рядах. Метод Фурье разделения переменных. Начальные сведения о числовых и функциональных рядах, рядах Фурье; метод Фурье решения дифференциальных уравнений с частными производными.

К лекциям 33-34, 43-45. Система Коши-Римана. Функции комплексного переменного. Система Коши-Римана как пример эллиптической системы, комплексная форма записи системы Коши-Римана, комплексная форма записи ряда Фурье и понятие об интеграле Фурье, конформное отображение, примеры конформных отображений, теорема Римана, конформные отображения поверхностей, уравнение Лапласа-Бельтрами, непараметрические поверхности, задачи Римана и Гильберта, обратные краевые задачи, понятие индекса, формула Пуанкаре.

Oбразцы контрольных заданий для курса "Mатематический анализ" (I, АCO, ИВT, ИCT) 2008-2009 гг.

К лекциям 35-41. Элементы теории функций и функционального анализа. Некоторые начальные сведения из теории множеств, теории метрических пространств и теории линейных нормированных пространств; попутно вводятся понятия псевдометрического пространства, меры Хаусдорфа и фрактала.

Вышла новая книга:

К проблеме определения РЕАЛЬНЫХ расстояний между объектами: Если A и B суть реально существующие объекты, то под РЕАЛЬНЫМ расстоянием r(A,B) от A до B может пониматься время, которое необходимо затратить чтобы дойти от A до B, количество бензина, которое необходимо затратить чтобы доехать на той или иной машине от A до B, стоимости этого бензина и т.п. Ясно, что в общем случае r(A,B) не равно r(B,A). Расстояния r(A,B) с подобными свойствами называются АНИЗОТРОПНЫМИ. В реальном мире мы, как правило, имеем дело не с идеальными, но с анизотропными расстояниями и знание этих расстояний в практике обыденной жизни могло бы существенно изменить нашу жизнь, сделав ее более экономически мотивированной. Один из возможных подходов к реализации данного проекта состоит в использовании уже существующих систем GPS и ГЛАНАСС и в организации среди разработчиков этих систем подструктур, занимающихся указанными вопросами. Описание математических методов работы с анизотропными расстояниями дано в монографии "Функции весовых классов Соболева, анизотропные метрики и квазиконформные отображения", Изд-во Волгоградского государственного ун-та, 2010, в печати; См. PDF файл.

О некоторых математических проблемах, возникающих при описании микро- и нанопотоков. Распространено мнение, что математика - изобретение халдейских магов, практиковавших на территории Южной Мессопотамии в первой половине первого тысячелетия до Р. Х. В определенной степени с этим трудно не согласиться. Действительно, и сегодня математика обладает многими характерными чертами, свойственными чародейству и колдовству, с чем безусловно согласится каждый, кто хотя бы раз соприкасался с ней в процессе работы. Вместе с тем, переходя к исследованиям микро- и наномира и расширяя сферу применений математики, невольно задаешься вопросом - а как выглядела бы сегодня математика, если бы халдеи владели микроскопом? Читать статью.